谢泼德引理

在消费者理论中，谢泼德引理指出，对于给定的效用水平${\displaystyle u}$ 和给定的各产品价格${\displaystyle \mathbf {p} }$ ，某种产品${\displaystyle i}$ 的需求量恰等于支出函数对其价格求偏导的结果：

${\displaystyle h_{i}(\mathbf {p} ,u)={\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{i}}}}$ ，

其中${\displaystyle h_{i}(\mathbf {p} ,u)}$ 为产品${\displaystyle i}$ 的希克斯需求函数（英语：Hicksian demand function），${\displaystyle e(\mathbf {p} ,u)}$ 为消费者的支出函数。

证明

通过带等式约束的包络定理即可证明：

${\displaystyle {\frac {\partial {e}}{\partial {p_{i}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {p_{i}}}}=x_{i}^{h}}$ ，

其中${\displaystyle {\mathcal {L}}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} +\lambda (u-U(\mathbf {x} ))}$ 为拉格朗日乘数，${\displaystyle x_{i}^{h}}$ 为使支出最小的需求量，也即希克斯需求函数。

• 罗伊恒等式